Οι 13 τύποι μαθηματικών λειτουργιών (και τα χαρακτηριστικά τους)

Τα Μαθηματικά είναι ένας από τους πιο τεχνικούς και αντικειμενικούς επιστημονικούς κλάδους που υπάρχουν. Είναι το κύριο πλαίσιο από το οποίο άλλοι κλάδοι της επιστήμης είναι σε θέση να εκτελέσει μετρήσεις και να λειτουργούν με μεταβλητές στοιχεία που σπουδάζουν, έτσι ώστε εκτός από την πειθαρχία η ίδια αναλαμβάνει με τη λογική μία από τις βάσεις της επιστημονική γνώση.

Αλλά μέσα στα μαθηματικά μελετώνται πολύ διαφορετικές διεργασίες και ιδιότητες, μελετώντας μεταξύ τους τη σχέση μεταξύ δύο μεγεθών ή συνδεδεμένων τομέων, όπου προκύπτει συγκεκριμένο αποτέλεσμα χάρη ή σε συνάρτηση με την αξία ενός στοιχείου σκυροδέματος. Πρόκειται για την ύπαρξη μαθηματικών λειτουργιών, οι οποίες δεν θα έχουν πάντα τον ίδιο τρόπο επηρεασμού ή σχέσης μεταξύ τους.

Αυτός είναι ο λόγος μπορούμε να μιλήσουμε για διαφορετικούς τύπους μαθηματικών λειτουργιών, των οποίων θα μιλήσουμε σε αυτό το άρθρο.

• Σχετικό άρθρο: "14 μαθηματικά γρίφους (και οι λύσεις τους)"

Λειτουργίες στα μαθηματικά: τι είναι?

Πριν προχωρήσουμε για να καθορίσουμε τους κύριους τύπους μαθηματικών λειτουργιών που υπάρχουν, είναι χρήσιμο να κάνουμε μια μικρή εισαγωγή για να καταστήσουμε σαφές τι μιλάμε όταν μιλάμε για λειτουργίες.

Οι μαθηματικές λειτουργίες ορίζονται ως η μαθηματική έκφραση της σχέσης μεταξύ δύο μεταβλητών ή μεγεθών. Αυτές οι μεταβλητές συμβολίζονται από τα τελευταία γράμματα του αλφαβήτου, X και Y, και αντίστοιχα λαμβάνουν το όνομα τομέα και την κωδικομηχανή.

Η σχέση αυτή εκφράζεται κατά τέτοιο τρόπο ώστε να φαίνονται για την ισότητα μεταξύ των δύο συστατικών που αναλύθηκαν, και γενικά σημαίνει ότι για κάθε μία από τις τιμές του Χ υπάρχει ένα μοναδικό αποτέλεσμα του Υ και το αντίστροφο (αν και υπάρχουν ταξινομήσεις των λειτουργιών που δεν πληρούν με αυτήν την απαίτηση).

Επίσης, αυτή η λειτουργία επιτρέπει τη δημιουργία μιας αναπαράστασης με τη μορφή γραφικών η οποία με τη σειρά της επιτρέπει την πρόβλεψη της συμπεριφοράς μίας από τις μεταβλητές από την άλλη, καθώς και πιθανά όρια αυτής της σχέσης ή μεταβολές στη συμπεριφορά της εν λόγω μεταβλητής.

Όπως συμβαίνει όταν λέμε ότι κάτι εξαρτάται από ή είναι συνάρτηση του άλλου κάτι (για παράδειγμα, αν λάβουμε υπόψη μας σημείωμα για τη δοκιμή μαθηματικά βασίζεται στον αριθμό των ωρών για τη μελέτη), όταν μιλάμε για μια μαθηματική συνάρτηση υποδεικνύουμε ότι η απόκτηση μιας συγκεκριμένης τιμής εξαρτάται από την αξία άλλου συνδεδεμένου με αυτήν.

Στην πραγματικότητα, το ίδιο το προηγούμενο παράδειγμα είναι άμεσα εκφρασμένο με τη μορφή μιας μαθηματικής συνάρτησης (αν και στον πραγματικό κόσμο η σχέση είναι πολύ πιο περίπλοκη αφού πραγματικά εξαρτάται από πολλαπλούς παράγοντες και όχι μόνο από τον αριθμό των ωρών που μελετώνται).

Κύριοι τύποι μαθηματικών λειτουργιών

Εδώ παρουσιάζουμε μερικούς από τους κύριους τύπους μαθηματικών λειτουργιών, που ταξινομούνται σε διαφορετικές ομάδες σύμφωνα με τη συμπεριφορά τους και τον τύπο σχέσης που δημιουργείται μεταξύ των μεταβλητών Χ και Υ.

1. Αλγεβρικές λειτουργίες

Οι αλγεβρικές λειτουργίες εννοούνται ως το σύνολο τύπων μαθηματικών λειτουργιών που χαρακτηρίζονται από την καθιέρωση μιας σχέσης των οποίων τα συστατικά είναι είτε μονομερή είτε πολυώνυμα και η σχέση του οποίου επιτυγχάνεται μέσω της εκτέλεσης σχετικά απλών μαθηματικών πράξεων: αφαίρεση, πολλαπλασιασμός, διαίρεση, ενίσχυση ή εγκατάσταση (προσθήκη ριζών). Μέσα σε αυτή την κατηγορία μπορούμε να βρούμε πολλούς τύπους.

1.1. Εξαιρετικές λειτουργίες

Ως ρητές λειτουργίες νοούνται οι τύποι μαθηματικών λειτουργιών των οποίων η σχέση μπορεί να αποκτηθεί άμεσα, απλώς υποκαθιστώντας την περιοχή x για την αντίστοιχη τιμή. Με άλλα λόγια, είναι η λειτουργία στην οποία άμεσα βρίσκουμε μια εξίσωση μεταξύ της αξίας και μιας μαθηματικής σχέσης στην οποία επηρεάζει το πεδίο x.

1.2. Ενεργοποιημένες λειτουργίες

Σε αντίθεση με το παραπάνω, στις σιωπηρή λειτουργίες η σχέση μεταξύ του τομέα και πεδίου τιμών δεν είναι εγκατεστημένοι άμεσα, είναι αναγκαία διάφοροι μετασχηματισμοί και μαθηματικές πράξεις για να βρει τον τρόπο x και y είναι συναφείς.

1.3. Πολυωνυμικές λειτουργίες

Οι λειτουργίες πολυώνυμων, μερικές φορές κατανοημένες ως συνώνυμες με αλγεβρικές λειτουργίες και άλλες ως υποκατηγορία αυτών, ενσωματώνουν το σύνολο τύπων μαθηματικών λειτουργιών στις οποίες Για να αποκτήσετε τη σχέση μεταξύ τομέα και κωδικομανίας, είναι απαραίτητο να εκτελέσετε διάφορες λειτουργίες με πολυώνυμα διαφορετικού βαθμού.

Γραμμικές ή πρώτης βαθμίδας λειτουργίες είναι ίσως ο απλούστερος τύπος λειτουργίας για την επίλυση και είναι από τους πρώτους που θα μάθουν. Σε αυτά υπάρχει μια απλή σχέση στην οποία μια τιμή του x θα παράγει μια τιμή y, και η γραφική αναπαράσταση του είναι μια γραμμή που πρέπει να κόψει τον άξονα των συντεταγμένων από κάποιο σημείο. Η μόνη παραλλαγή θα είναι η κλίση της εν λόγω γραμμής και το σημείο όπου κόβει τον άξονα, διατηρώντας πάντοτε τον ίδιο τύπο σχέσης.

Μέσα σε αυτά μπορούμε να βρούμε τις λειτουργίες ταυτότητας, στην οποία υπάρχει μια ταυτοποίηση μεταξύ τομέα και codomain έτσι ώστε οι δύο τιμές είναι πάντα οι ίδιες (y = x), οι γραμμικές συναρτήσεις (στην οποία παρατηρούμε μόνο μια παραλλαγή της πλαγιάς, y = mx) και των σχετικών λειτουργιών (που μπορεί να βρει μεταβολές στην διάσπαση της τετμημένη και κλίση, y = mx + a).

Οι λειτουργίες τετραγωνικής ή δευτέρου βαθμού είναι εκείνες που εισάγουν ένα πολυώνυμο στο οποίο μια μεμονωμένη μεταβλητή έχει μια μη γραμμική συμπεριφορά με την πάροδο του χρόνου (μάλλον, σε σχέση με την κωδικομηχανή). Από ένα συγκεκριμένο όριο η λειτουργία τείνει στο άπειρο σε έναν από τους άξονες. Η γραφική αναπαράσταση εδραιώνεται ως παραβολή και εκφράζεται μαθηματικά ως y = ax2 + bx + c.

Οι σταθερές λειτουργίες είναι εκείνες στις οποίες ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός είναι ο καθοριστικός παράγοντας της σχέσης μεταξύ τομέα και κωδικοματίου. Δηλαδή, δεν υπάρχει πραγματική διακύμανση ανάλογα με την αξία και των δύο: η κωδικομεταφορά θα είναι πάντα σταθερή, δεν υπάρχει μεταβλητή τομέα που μπορεί να εισάγει αλλαγές. Απλά, y = k.

• Ίσως σας ενδιαφέρει: "Dyscalculia: η δυσκολία όταν πρόκειται για μαθηματική μάθηση"

1.4. Ορθολογικές λειτουργίες

Καλούνται ως λογικές λειτουργίες στο σύνολο λειτουργιών στις οποίες η αξία της συνάρτησης καθιερώνεται από ένα πηλίκο μεταξύ μη μηδενικών πολυωνύμων. Στις λειτουργίες αυτές ο τομέας θα περιλαμβάνει όλους τους αριθμούς εκτός από εκείνους που ακυρώνουν τον παρονομαστή του τμήματος, ο οποίος δεν θα επέτρεπε να αποκτήσει αξία και.

Σε αυτό το είδος λειτουργιών εμφανίζονται όρια γνωστά ως ασυμπότες, που θα ήταν ακριβώς εκείνες οι τιμές στις οποίες δεν θα υπήρχε καμιά περιοχή ή κωδικομετρική τιμή (δηλαδή, όταν τα y και x είναι ίσα με 0). Στα όρια αυτά, οι γραφικές αναπαραστάσεις τείνουν να είναι άπειρες, χωρίς να αγγίζουν ποτέ τα όρια. Ένα παράδειγμα αυτού του τύπου συνάρτησης: y = √ ax

1.5. Παράλογες ή ριζοσπαστικές λειτουργίες

Καλούνται παράλογη λειτουργίες το σύνολο των λειτουργιών στις οποίες ένα ορθολογική λειτουργία εμφανίζεται εισάγεται σε μία ρίζα ή ρίζα (το οποίο δεν χρειάζεται να είναι τετράγωνο, δεδομένου ότι μπορεί να είναι κυβικής ή τον άλλο εκθέτης).

Για να μπορέσει να το λύσει πρέπει να έχουμε κατά νου ότι η ύπαρξη αυτής της ρίζας επιβάλλει ορισμένους περιορισμούς, όπως για παράδειγμα το γεγονός ότι οι τιμές του x θα πρέπει πάντα να προκαλούν το αποτέλεσμα της ρίζας να είναι θετικό και μεγαλύτερο από ή ίσο με το μηδέν.

1.6. Λειτουργίες που ορίζονται από κομμάτια

Αυτός ο τύπος λειτουργιών είναι εκείνοι στους οποίους η τιμή του y αλλάζει τη συμπεριφορά της συνάρτησης, υπάρχουν δύο διαστήματα με πολύ διαφορετική συμπεριφορά που βασίζονται στην αξία του τομέα. Θα υπάρχει μια τιμή που δεν θα είναι μέρος αυτού, η οποία θα είναι η τιμή από την οποία διαφέρει η συμπεριφορά της λειτουργίας.

2. Υπερβατικές λειτουργίες

Οι υπερβατικές λειτουργίες είναι εκείνες οι μαθηματικές παραστάσεις σχέσεων μεταξύ μεγεθών που δεν μπορούν να ληφθούν μέσω αλγεβρικών λειτουργιών και για τις οποίες είναι αναγκαία η διεξαγωγή μιας πολύπλοκης διαδικασίας υπολογισμού προκειμένου να αποκτηθεί η σχέση τους. Περιλαμβάνει κυρίως εκείνες τις λειτουργίες που απαιτούν τη χρήση παραγώγων, ολοκλήρων, λογαρίθμων ή που έχουν έναν τύπο ανάπτυξης που αυξάνεται ή μειώνεται συνεχώς.

2.1. Εκθετικές λειτουργίες

Όπως υποδεικνύεται από το όνομά του, οι εκθετικές λειτουργίες είναι το σύνολο των λειτουργιών που δημιουργούν μια σχέση μεταξύ τομέα και κωδικοματίου στην οποία δημιουργείται μια σχέση ανάπτυξης σε εκθετικό επίπεδο, δηλαδή υπάρχει μια αυξανόμενη επιτάχυνση. η τιμή του x είναι ο εκθέτης, δηλαδή ο τρόπος με τον οποίο η αξία της λειτουργίας ποικίλει και αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου. Το πιο απλό παράδειγμα: y = ax

2.2. Λειτουργίες καταγραφής

Ο λογάριθμος οποιουδήποτε αριθμού είναι εκείνος ο εκθέτης ο οποίος θα είναι απαραίτητος για την ανύψωση της χρησιμοποιούμενης βάσης για να αποκτήσει τον συγκεκριμένο αριθμό. Έτσι, οι λογαριθμικές λειτουργίες είναι εκείνες στις οποίες χρησιμοποιούμε ως πεδίο τον αριθμό που πρόκειται να ληφθεί με μια συγκεκριμένη βάση. Είναι η αντίθετη και αντίστροφη περίπτωση της εκθετικής λειτουργίας.

Η τιμή του x πρέπει πάντα να είναι μεγαλύτερη από μηδέν και διαφορετική από 1 (δεδομένου ότι οποιοσδήποτε λογάριθμος με τη βάση 1 είναι ίσος με μηδέν). Η αύξηση της συνάρτησης μειώνεται καθώς αυξάνεται η τιμή του x. Στην περίπτωση αυτή y = λογάριθμος x

2.3. Τριγωνομετρικές λειτουργίες

Ένας τύπος συνάρτησης που καθορίζει την αριθμητική σχέση μεταξύ των διαφόρων στοιχείων που συνθέτουν ένα τρίγωνο ή γεωμετρικό σχήμα και συγκεκριμένα τις σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ των γωνιών ενός σχήματος. Μέσα σε αυτές τις λειτουργίες βρίσκουμε τον υπολογισμό του ημιτονοειδούς, του συνημιτονικού, της εφαπτόμενης, της τμηματικής, της συνθετικής και της κωστικής πριν από μια καθορισμένη τιμή x.

Μια άλλη ταξινόμηση

Το σύνολο μαθηματικών τύπων λειτουργιών που εξηγείται παραπάνω λαμβάνει υπόψη ότι για κάθε τιμή του τομέα αντιστοιχεί μια μοναδική τιμή της κωδικομασίνης (δηλαδή, κάθε τιμή του x θα προκαλέσει μια συγκεκριμένη τιμή του y). Ωστόσο, αν και αυτό το γεγονός θεωρείται συνήθως βασικό και θεμελιώδες, το γεγονός είναι ότι είναι δυνατόν να βρεθούν μερικά τύποι μαθηματικών λειτουργιών στις οποίες μπορεί να υπάρχει κάποια απόκλιση όσον αφορά τις αντιστοιχίες μεταξύ χ και γ. Συγκεκριμένα μπορούμε να βρούμε τους ακόλουθους τύπους λειτουργιών.

1. Ενέσιμες λειτουργίες

Το όνομα των λειτουργιών ενέσεως είναι αυτός ο τύπος της μαθηματικής σχέσης μεταξύ του τομέα και της κωδικομανίας όπου κάθε μία από τις τιμές της κωδικο-ομάδας είναι συνδεδεμένη μόνο με μια τιμή του τομέα. Δηλαδή, το x μπορεί να έχει μόνο μια τιμή για μια τιμή και να προσδιοριστεί ή μπορεί να μην έχει αξία (δηλαδή, μια συγκεκριμένη τιμή του x μπορεί να μην σχετίζεται με το y).

2. Επικεφαλής λειτουργίες

Οι επιθετικές λειτουργίες είναι όλες εκείνες στις οποίες κάθε ένα από τα στοιχεία ή τιμές της κωδικο-ομάδας (y) σχετίζεται με τουλάχιστον ένα από τα πεδία (χ), αν και μπορούν να είναι περισσότερα. Δεν χρειάζεται να είναι απαραίτητα ένεση (για να είναι σε θέση να συσχετίσει πολλές τιμές του x με την ίδια και).

3. Λειτουργίες bijective

Ο τύπος της λειτουργίας στην οποία δίδονται τόσο οι εγχυτικές όσο και οι επιφανειακές ιδιότητες ονομάζεται έτσι. Θέλω να πω, υπάρχει μια μόνο τιμή του x για κάθε μία και, και όλες οι τιμές τομέων αντιστοιχούν σε μία από τις κωδικο-ομάδες.

4. Λειτουργίες μη ενέσιμων και μη επιφανειακών

Αυτός ο τύπος λειτουργιών υποδεικνύει ότι υπάρχουν πολλαπλές τιμές του τομέα για μια συγκεκριμένη κωδικο-ομάδα (δηλαδή, διαφορετικές τιμές του x θα μας δώσουν το ίδιο y) ταυτόχρονα ότι άλλες τιμές του y δεν συνδέονται με οποιαδήποτε τιμή του x.

Βιβλιογραφικές αναφορές:

• Eves, Η. (1990). Θεμελιώσεις και Θεμελιώδεις Έννοιες των Μαθηματικών (3 έκδοση). Ντόβερ.
• Hazewinkel, M. ed. (2000). Εγκυκλοπαίδεια των Μαθηματικών. Kluwer Academic Publishers.